Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）-6，對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)平行，斜率相等，求得a的值．
（Ⅱ）求出新函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖形特征，確定x的范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²+3a
由已知得：f′（1）=6，
∴3+3a=6
∴a=1
（Ⅱ）∵g（x）=3x²+3a-6
∴由g（x）＜0得3x²+3a-6＜0
令h（a）=3a+3x²-6由題意
對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0成立

h(1)＜0 h(-1)＜0

即

3x2-3＜0 3x2-9＜0

解得：-1＜x＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線平行關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)思想等思想方法和知識(shí)，是中檔題．