Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若在其左準(zhǔn)線上存在點(diǎn)M，使線段MF₂的中垂線過(guò)點(diǎn)F₁，則橢圓的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出左準(zhǔn)線方程，連接MF₁，則由線段MF₂的中垂線過(guò)點(diǎn)F₁，可得|MF₁|=|F₁F₂|=2c，又|MF₁|≥（-c）-（-

a2

c

），再由離心率公式及范圍，即可得到．

解答： 解：左準(zhǔn)線方程為：x=-

a2

c

，
連接MF₁，則由線段MF₂的中垂線過(guò)點(diǎn)F₁，
可得|MF₁|=|F₁F₂|=2c，
又|MF₁|≥（-c）-（-

a2

c

），
即有3c≥

a2

c

，即

3

c≥a，
則e=

c

a

≥

3

3

，又0＜e＜1，
則

3

3

≤e＜1．
故答案為：[

3

3

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，要牢記橢圓的有關(guān)參數(shù)，如a、b、c之間的關(guān)系和準(zhǔn)線方程、離心率等．