Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，能否在y軸左側(cè)的橢圓上找到一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線l的距離|MN|為點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)？若M存在，求出它的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程算出a²=4且c=1，從而得出左準(zhǔn)線l的方程為：x=-4．設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n）即可得到|MN|=m+4．根據(jù)橢圓定義和題中的等差中項(xiàng)算出|MN|=2，從而解出m=-2，代入橢圓方程可得n的值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)存在符合題意的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（m，n）（m＜0）
由橢圓的方程，可得a²=4，b²=3，∴c=

a2-b2

=1，
于是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
且左準(zhǔn)線l的方程為：x=

a2

c

，即x=-4，可得|MN|=m+4，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴由|MN|是|MF₁|和|MF₂|的等差中項(xiàng)，得2|MN|=|MF₁|+|MF₂|=4，解之得|MN|=2，
∵|MN|=m+4，∴m+4=2，解之得m=-2，代入橢圓方程得n=0
因此，存在點(diǎn)橢圓上點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，0），滿足點(diǎn)M到左準(zhǔn)線l的距離|MN|為點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓方程，探索了橢圓上是否存在一點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是兩條焦半徑的等差中項(xiàng)的問(wèn)題．著重考查了橢圓的定義、基本概念和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．