過雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1(m>0,n>0)上的點(diǎn)P(
5
,-
3
)作圓x2+y2=m的切線,切點(diǎn)為A、B,若
PA
PB
=0,則該雙曲線的離心率的值是(  )
分析:如圖,根據(jù)向量的數(shù)量積
PA
PB
=0
得出∠APB=90°,又PA=PB,PA,PB是圓的切線,從而四邊形OAPB是正方形,利用OA=
2
2
OP求出m的值,又因?yàn)殡p曲線
x2
m
-
y2
n
=1(m>0,n>0)上的點(diǎn)P(
5
,-
3
),求出n的值,從而得出該雙曲線的離心率的值.
解答:解:如圖,∵
PA
PB
=0
,∴
PA
PB

∴∠APB=90°,又PA=PB,PA,PB是圓的切線,
∴四邊形OAPB是正方形,
∴OA=
2
2
OP=
2
2
×2
2
=2,
m
=2,∴m=4,
又因?yàn)殡p曲線
x2
m
-
y2
n
=1(m>0,n>0)上的點(diǎn)P(
5
,-
3
),
5
m
-
3
n
=1
,∴n=12,
則該雙曲線的離心率的值是
e=
c
a
=
4+12
2
=
16
2
=2

故選C.
點(diǎn)評:本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①過點(diǎn)P(2,1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=
1
2
x
;
②雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1
與橢圓
x2
35
+y2=1
有相同的焦點(diǎn);
③焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C,若離心率為
5
,則雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x.
④橢圓
x2
m+1
+
y2
m
=1
的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),△PF1F2的面積的最大值為2,則m的值為2.其中真命題的序號(hào)為
 
.(寫出所有真命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•濱州一模)已知拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線過雙曲線
x2
m
-
y2
3
=1
的右焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

給出下列命題:
①過點(diǎn)P(2,1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=
1
2
x
;
②雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1
與橢圓
x2
35
+y2=1
有相同的焦點(diǎn);
③焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C,若離心率為
5
,則雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x.
④橢圓
x2
m+1
+
y2
m
=1
的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),△PF1F2的面積的最大值為2,則m的值為2.其中真命題的序號(hào)為______.(寫出所有真命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:濱州一模 題型:填空題

已知拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線過雙曲線
x2
m
-
y2
3
=1
的右焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為______.

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