Question

雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，若雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的點(diǎn)P，使得∠PF₂F₁=3∠PF₁F₂，則雙曲線離心率e的取值范圍是________．

Answer 1

1＜e＜2
分析：設(shè)∠PF₁F₂=α，在三角形PF₁F₂中，根據(jù)正弦定理，可得，利用三倍角公式化簡(jiǎn)得PF₁=（3-4sin²α）PF₂，再利用雙曲線的定義，可得PF₂=，最后根據(jù)P在雙曲線右友，可得關(guān)于e的不等式，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的范圍確定e的范圍．
解答：設(shè)∠PF₁F₂=α，
∵∠PF₂F₁=3∠PF₁F₂，P在雙曲線右支（x＞a）
在三角形PF₁F₂中，根據(jù)正弦定理，可得，
即
∴PF₁=（3-4sin²α）PF₂，
∵PF₁-PF₂=2a，∴（3-4sin²α）PF₂-PF₂=2a，
∴PF₂=，
由于P在P在雙曲線右支，∴PF₂＞c-a，
∵＞c-a，∴＜1+≤2，
∴＜2，又＞1，
則雙曲線離心率e的取值范圍是 1＜e＜2．
故答案為：1＜e＜2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線的第二定義的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．