Question

（2007•浦東新區(qū)一模）由函數(shù)y=f（x）確定數(shù)列{a_n}，a_n=f（n），若函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）能確定數(shù)列{b_n}，b_n=f^-1（n），則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“反數(shù)列”．
（1）若函數(shù)f(x)=2

x

確定數(shù)列{a_n}的反數(shù)列為{b_n}，求b_n；
（2）設(shè)c_n=3ⁿ，數(shù)列{c_n}與其反數(shù)列{d_n}的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為{t_n}
（公共項(xiàng)t_k=c_p=d_q，k、p、q為正整數(shù)）．求數(shù)列{t_n}前10項(xiàng)和S₁₀；
（3）對（1）中{b_n}，不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)對任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=2

x

（x≥0），知an=2

n

（n為正整數(shù)），f-1(x)=

x2

4

（x≥0），由此能求出數(shù)列{a_n}的反數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．
（2）由c_n=3ⁿ，d_n=log₃n，知3^p=log₃q，所以t_n=3ⁿ，由此能求出{t_n}的前n項(xiàng)和．
（3）由

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)對任意正整數(shù)n恒成立，設(shè)T_n=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，所以（T_n）_min=T₁=1，要使不等式恒成立，只要1＞

1

2

loga(1-2a)．由此能求出使不等式對于任意正整數(shù)恒成立的a的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=2

x

（x≥0）⇒an=2

n

（n為正整數(shù)），
f-1(x)=

x2

4

（x≥0）
所以數(shù)列{a_n}的反數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)bn=

n2

4

（n為正整數(shù)）．
（2）c_n=3ⁿ，d_n=log₃n，
3^p=log₃q，
則q=33p，
有{c_n}?{d_n}，t_n=3ⁿ，
所以{t_n}的前n項(xiàng)和S10=

3

2

(310-1)．
（3）對于（1）中{b_n}，
不等式化為：

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)，
對任意正整數(shù)n恒成立，
設(shè)T_n=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，
所以（T_n）_min=T₁=1，
要使不等式恒成立，
只要1＞

1

2

loga(1-2a)．
∵1-2a＞0，∴0＜a＜

1

2

，
1-2a＞a²，0＜a＜

2

-1．
所以，使不等式對于任意正整數(shù)恒成立的a的取值范圍是：(0，

2

-1)

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．