(2009•朝陽區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=ex-ex.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)求證:e1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
+
1
n
>n+1
(n∈N*);
(Ⅲ)對于函數(shù)h(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,b,使得h(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b都成立,則稱直線y=kx+b為函數(shù)h(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-ex+ex+
1
2
x2
,g(x)=elnx,h(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出k,b的值;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)因為f'(x)=ex-e,令f'(x)=ex-e>0,解得x>1,令f'(x)=ex-e<0,解得x<1,由此能求出f(x)的最小值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù)f(x)在x=1取得最小值,所以f(x)≥f(1),即ex≥ex,兩端同時乘以
1
e
得ex-1≥x,把x換成t+1得et≥t+1,當且僅當t=0時等號成立.由此能夠證明e1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
+
1
n
>n+1
(n∈N*).
(Ⅲ)設(shè)F(x)=h(x)-g(x)=
1
2
x2-elnx(x>0)
.則F′(x)=x-
e
x
=
x2-e
x
=
(x+
e
)(x-
e
)
x
.所以當0<x<
e
時,F(xiàn)'(x)<0;當x>
e
時,F(xiàn)'(x)>0.因此x=
e
時F(x)取得最小值0,則h(x)與g(x)的圖象在x=
e
處有公共點(
e
,
1
2
e)
.由此能夠?qū)С?span id="eg62imi" class="MathJye">k=
e
b=-
1
2
e
解答:(Ⅰ)解:因為f'(x)=ex-e,
令f'(x)=ex-e>0,解得x>1,
令f'(x)=ex-e<0,解得x<1,
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上遞減,(1,+∞)上遞增,
所以f(x)的最小值為f(1)=0.                   …(3分)
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知函數(shù)f(x)在x=1取得最小值,
所以f(x)≥f(1),
即ex≥ex
兩端同時乘以
1
e
得ex-1≥x,
把x換成t+1得et≥t+1,
當且僅當t=0時等號成立.
由et≥t+1得,e1>1+1=2,e
1
2
1
2
+1=
3
2
,
e
1
3
1
3
+1=
4
3
,

e
1
n-1
1
n-1
+1=
n
n-1
,e
1
n
1
n
+1=
n+1
n

將上式相乘得
e1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
+
1
n
>2×
3
2
×
4
3
×…×
n
n-1
×
n+1
n
=n+1
.…(9分)
(Ⅲ)設(shè)F(x)=h(x)-g(x)=
1
2
x2-elnx(x>0)

F′(x)=x-
e
x
=
x2-e
x
=
(x+
e
)(x-
e
)
x

所以當0<x<
e
時,F(xiàn)'(x)<0;
x>
e
時,F(xiàn)'(x)>0.
因此x=
e
時F(x)取得最小值0,
則h(x)與g(x)的圖象在x=
e
處有公共點(
e
1
2
e)

設(shè)h(x)與g(x)存在“分界線”,
方程為y-
1
2
\user2e=k(x-
e
)

h(x)≥kx+
1
2
e-k
e
在x∈R恒成立,
x2-2kx-e+2k
e
≥0
在x∈R恒成立.
所以△=4k2+4e-8k
e
=4(k-
e
)2≤0
成立.
因此k=
e

下面證明g(x)≤
e
x-
1
2
e
(x>0)成立.
設(shè)G(x)=elnx-
e
x+
1
2
e
,
G′(x)=
e
x
-
e
=
e-
e
x
x

所以當0<x<
e
時,G'(x)>0;
x>
e
時,G'(x)<0.
因此x=
e
時G(x)取得最大值0,
g(x)≤
e
x-
1
2
e
(x>0)成立.
所以k=
e
b=-
1
2
e
.…(14分)
點評:本題考查導數(shù)在求函數(shù)最大值和最小值中的應(yīng)用和用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,易出錯.
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DA
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DB
+λ2
DC
=0
,則∠ADB,∠BDC,∠ADC( �。�

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