Question

已知數(shù)列{x_n}的首項(xiàng)x₁=3，通項(xiàng)x_n=2ⁿp+nq（n∈N⁺，p、q為常數(shù)）且x₁，x₄，x₅成等差數(shù)列．
（1）求p、q的值；
（2）{x_n}前n項(xiàng)和為S_n，計(jì)算S₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入通項(xiàng)其值等于3，得到關(guān)于p與q的方程，記作①，又令n=4和5分別表示出x₄和x₅，根據(jù)x₁，x₄，x₅成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2x₄=x₁+x₅，列出關(guān)于p與q的另一方程，記作②，聯(lián)立①②即可求出p與q的值，；
（2）把p與q的值代入通項(xiàng)即可確定出通項(xiàng)，羅列出數(shù)列{x_n}的前10項(xiàng)，依次結(jié)合后，分別利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出S₁₀的值．

解答：解：（1）由x₁=3，則3=2p+q①，
又x₁，x₄，x₅成等差數(shù)列，
則（3+32p+5q）=2（16p+4q）②，
聯(lián)立①②，解得p=1，q=1；
（2）把p=1，q=1代入通項(xiàng)得：x_n=2ⁿ+n，
則S₁₀=2+2²+…+2¹⁰+1+2+…+10=

2(1-210)

1-2

+

10(1+10)

2

=2101．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．