Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC，AD=CD，AC交BD于點(diǎn)O，G為線段PC上一點(diǎn)．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若G是PC的中點(diǎn)，探討直線PA與平面BDG公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出同PA⊥BD，BD是AC的中垂線，O為AC的中點(diǎn)，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）由O為AC中點(diǎn)，G是PC的中點(diǎn)，知GO∥PA，由此能求出直線PA與平面BDG公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AB=BC，AD=CD，
∴BD是AC的中垂線，O為AC的中點(diǎn)，
又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC．
解：（2）由（1）知O為AC中點(diǎn)，
又∵G是PC的中點(diǎn)，∴GO∥PA，
∵PA?平面BDG，GO?平面BDG，
∴PA∥平面BDG，
∴直線PA與平面BDG公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查直線與平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．