Question

已知直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x²-y²=1的左支交于點(diǎn)A，右支交于點(diǎn)B
（1）求k的取值范圍；
（2）若直線l與y軸交于點(diǎn)P，且滿足|PB|=2|PA|，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）由（1）
因直線l與雙曲線在左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，
所以，解得k²＜3，所以k的取值范圍為
（2）因|PB|=2|PA|且點(diǎn)P在線段AB上，故，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），所以有，
所以，
于是可得：，
所以有：，結(jié)合（1）有，解得．
又由于點(diǎn)A在左支，點(diǎn)B在右支，并結(jié)合|PB|=2|PA|知k＞0，所以，從而直線l的方程為．
分析：（1）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0和兩根之積小于0聯(lián)立求得k的范圍．
（2）因|PB|=2|PA|且點(diǎn)P在線段AB上，故，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量關(guān)系得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，結(jié)合（1）中一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立等式即可求出直線l的斜率，從而寫(xiě)出直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了函數(shù)思想的應(yīng)用，圓錐曲線與向量知識(shí)的綜合．