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20.已知橢圓γx2a2+y2=1(常數(shù)a>1)的左頂點(diǎn)為R,點(diǎn)A(a,1),B(-a,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)設(shè)a=2,Q是橢圓γ上任意一點(diǎn),S(6,0),求QSQR的最小值;
(2)若P是橢圓γ上任意一點(diǎn),OP=mOA+nOB,求m2+n2的值.

分析 (1)設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),表示出QSQR,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求解;(2)由題意,用m,n表示出點(diǎn)P的坐標(biāo),代入橢圓方程即可.

解答 解:(1)當(dāng)a=2時(shí),有R(-2,0),A(2,1),B(-2,1),
設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),則QS=6x0y0QR=2x0y0,
QSQR=x02+y024x012,
又點(diǎn)Q在橢圓上,∴y02=1x024代入上式得:QSQR=34x024x011,x0∈[-2,2],
∵函數(shù)y=34x024x011在區(qū)間[-2,2]上為增函數(shù),
∴當(dāng)x0=-2時(shí)函數(shù)取最小值,且最小值為-16.
QSQR的最小值為-16.
(2)由題意知OA=a1OB=a1,
OP=mOA+nOB=manam+n,
即點(diǎn)P(ma-na,m+n),
又點(diǎn)P在橢圓上,
mana2a2+m+n2=1
化簡(jiǎn)得2(m2+n2)=1,
m2+n2=12

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的一個(gè)簡(jiǎn)單的綜合問(wèn)題,正確轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.第一問(wèn)中求最值問(wèn)題是一道比較常規(guī)也是比較經(jīng)典的題型,利用函數(shù)方法是最常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法.本題還可以用橢圓的參數(shù)方程求解.

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