Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n=3-2S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并猜想a_n的表達式．
（Ⅱ）若猜想的結論正確，用三段論證明證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？

Answer 1

考點：進行簡單的演繹推理

專題：規(guī)律型,推理和證明

分析：（I）由已知中數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n=3-2S_n（n∈N^*）．將n=1，2，3，4分別代入，可得a₁，a₂，a₃，a₄的值，分析規(guī)律后，可得a_n的表達式．
（Ⅱ）將等比數(shù)列的定義做為大前提，（I）中猜想做為小前提，可得結論：{a_n}是等比數(shù)列．

解答： 解：∵a_n=3-2S_n，
∴a₁=3-2S₁=3-2a₁，
解得：a₁=1，…（1分）
同理a2=

1

3

，…（2分）
a3=

1

9

，…（3分）
a4=

1

27

，…（4分）
…
猜想an=(

1

3

)n-1…（7分）
（2）大前提：數(shù)列{a_n}，若

an+1

an

=q，q是非零常數(shù)，則{a_n}是等比數(shù)列       …（9分）
小前提：由an=(

1

3

)n-1，又

an+1

an

=

1

3

…（11分）
結論：{a_n}是等比數(shù)列．                                            …（12分）

點評：本題考查的知識點是歸納推理和演繹推理，熟練掌握兩種推理的定義和適用范圍，是解答的關鍵．