Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x，（x∈R），其中m＞0
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=f（x）+

1

3

有三個互不相同的零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并且通過導(dǎo)數(shù)求出出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到原函數(shù)的極值，因為函數(shù)存在三個不同的零點，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，即可單調(diào)答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x，（x∈R），
∴f′（x）=-x²+2x+m²-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因為m＞0，所以1+m＞1-m．
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（1-m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)．
f（x）在x=1-m處取極小值f（1-m）=-

1

3

(1-m)3+(1-m)2+(m2-1)(1-m)=-

2

3

m3+m2-

1

3

．
f（x）在x=1+m處取極大值f（1+m）=-

1

3

(1+m)3+(1+m)2+(m2-1)(1+m)=

2

3

m3+m2-

1

3

．
（Ⅱ）∵f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x，
∴g（x）=f（x）+

1

3

=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x+

1

3

，
由（Ⅰ）知：g（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
在（1-m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)．
在x=1-m處取極小值-

2

3

m3+m2，x=1+m處取極大值

2

3

m3+m2，
∵函數(shù)g（x）=f（x）+

1

3

有三個互不相同的零點，且m＞0，
∴

- 2 3 m3+m2＜0 2 3 m3+m2＞0 m＞0

，
解得m＞

3

2

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)球函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值，并且掌握通過函數(shù)零點個數(shù)進而判斷極值點與0的大小關(guān)系．