精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知非零向量 $數(shù)學(xué)公式$ ， $數(shù)學(xué)公式$ 的夾角為60°，且滿足 $數(shù)學(xué)公式$ ，，則 $數(shù)學(xué)公式$ $數(shù)學(xué)公式$ 的最大值為________．

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分析：根據(jù)已知等式，平方得： $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ =4…（*），由向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夾角為60°，得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，代入（*）并化簡整理，得4+2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ ，再利用基本不等式得到 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≤2，得到當(dāng)且僅當(dāng) $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ 時(shí)， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的最大值為1．
解答：∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =4，即 $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ =4…（*）
∵向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夾角為60°，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ cos60°= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
代入（*），得 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ =4，所以4+2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ ≥4 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
解之得： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≤2，當(dāng)且僅當(dāng) $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ 時(shí)，等號成立
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的最大值為1
故答案為：1
點(diǎn)評：本題給出向量等式，在已知兩個(gè)向量夾角為60度的情況下，求它們數(shù)量積的最大值，著重考查了平面向量數(shù)量積的公式和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．

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