Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為-1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設(shè)條件知直線AB的方程為x=-y+

p

2

，代入拋物線方程，得y²+2py-p²=0，由線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，推導(dǎo)出y₁+y₂=-2p=-4，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵拋物線y²=2px（p＞0），過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為-1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，
∴直線AB的方程為：y=-x+

p

2

，
∴x=-y+

p

2

，
把x=-y+

p

2

代入拋物線方程，
整理得y²+2py-p²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-2p，
∵線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
∴y₁+y₂=-4，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x，
∴該拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1．
故答案為：x=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．