Question

已知角A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為a、b、c，若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且·＝．

（1）若△ABC的面積S＝，求b＋c的值．

（2）求b＋c的取值范圍．

 

Answer 1

（1）4;（2）?2，4?

【解析】

試題分析：（1）由＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝．可求得角A的值，又因?yàn)椤鰽BC的面積S＝，a＝2，在三角形中利用余弦與三角形的面積公式，即可解出b,c的值或者直接構(gòu)造b+c，即可得到結(jié)論.

（2）由（1）可知角A，以及邊長(zhǎng).用角B結(jié)合正弦定理分別表示出b,c.再結(jié)合角B的范圍，求出b+c的取值范圍即可.

試題解析：（1）∵＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝，

∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，

又A∈(0，π)，∴A＝. 3分

又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，

∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4. 7分

（2）由正弦定理得：＝＝＝＝4，又B＋C＝?－A＝，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)， . 12分

∵0＜B＜，則＜B＋＜，則＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范圍是?2，4? ..14分

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)恒等變換.2.正余弦定理的應(yīng)用.3.三角函數(shù)最值的求法.