Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2e時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）若函數(shù)在[1，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=-2e時，f′（x）=2x-=（2分），
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）；單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞）．
極小值是f（）=0．（6分）
（2）由g（x）=x²+alnx+，得g′（x）=2x+-（8分）
又函數(shù)g（x）=x²+alnx+為[1，4]上的單調(diào)減函數(shù)．
則g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+-≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤-2x²在[1，4]上恒成立． （10分）
設φ（x）=-2x²，顯然?（x）在[1，4]上為減函數(shù)，
所以?（x）的最小值為?（4）=-．
∴a的取值范圍是a≤-．（12分）
分析：（1）a=-2e時，f′（x）=2x-=，利用x變化時，f'（x），f（x）的變化情況可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）由g（x）=x²+alnx+，得g′（x）=2x+-，由g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，可得a≤-2x²在[1，4]上恒成立．構(gòu)造函數(shù)φ（x）=-2x²，求其最小值即可．
點評：本題考查利用倒數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，著重考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查閉區(qū)間上的恒成立問題，突出轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)的思想的運用，屬于難題．