已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，
3
cosωx）且0＜ω＜2，函數(shù)f（x）=m•n，且f（
π
3
）=
3
2
．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數(shù)y=g（x）的圖象向右平移
π
3
個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
1
4
，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的解析式及其在[-
π
3
，
π
3
]上的值域．
分析：（Ⅰ）由f（x）=
m
•
n
可求得f（x）=sin（2ωx+
π
3
）+
3
2
，f（
π
3
）=
3
2
，可求得sin（
2πω
3
+
π
3
）=0，從而可求得ω；
（Ⅱ）依題意，轉化為將y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，再將得到的y=sin（
x
2
+
π
3
）+
3
2
的圖象向左平移
π
3
個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，從而得到g（x）的解析式，利用余弦函數(shù)的性質可求得其在[-
π
3
，
π
3
]上的值域．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=
m
•
n
=sinωxcosωx+
3
cos2ωx=
1
2
sin2ωx+
3
2
cos2ωx+
3
2

=sin（2ωx+
π
3
）+
3
2
，…3分
∵f（
π
3
）=
3
2
，則sin（
2πω
3
+
π
3
）=0，
∴
2πω
3
+
π
3
=kπ，k∈Z，
∴ω=
3
2
k-
1
2
，k∈Z，又0＜ω＜2，
∴k=1，故ω=1…6分
（Ⅱ）由題意知，將函數(shù)y=g（x）的圖象向右平移
π
3
個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
1
4
，得到函數(shù)y=f（x）的圖象?將y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，再將得到的y=sin（
x
2
+
π
3
）+
3
2
的圖象向左平移
π
3
個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，因此g（x）=sin（
x
2
+
π
2
）+
3
2
=cos
x
2
+
3
2
，…9分
∵
x
2
∈[-
π
6
，
π
6
]，
∴
3
2
≤cos
x
2
≤1，
故g（x）在[-
π
3
，
π
3
]上的值域為[
3
，1+
3
2
]…12分
點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查余弦函數(shù)的性質，是三角函數(shù)中的綜合題，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=（sinθ，2cosθ），
n
=（
3
，-
1
2
）
（Ⅰ）當θ∈[0，π]時，求函數(shù)f（θ）=
m
×
n
的值域；
（Ⅱ）若
m
∥
n
，求sin2θ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=（sin（A-B），sin(
π
2
-A)），
n
=（1，2sinB），且
m
•
n
=-sin2C，其中A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=
3
2
sinC，且S△ABC=
3
，求邊c的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=（sinωx，1），
n
=（
3
Acosωx，
A
2
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函數(shù)f（x）=
m
•
n
的最大值為3，且其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移
π
6
個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
1
2
倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）在[
π
4
，
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量m=(cosθ,sinθ),n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.

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