Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是平行四邊形，且，.

（1）求證：；

（2）若底面是菱形，與平面所成角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）過作，垂足為，連接，只需證明即可；（2）是平面與平面所成銳二面角的平面角，在三角形中求解即可.

（1）過作，垂足為，連接，

因為平面平面，所以平面，

因為，所以平面，所以，

因為，所以，

因為，所以.

解法一：（2）因為，平面，平面，

所以平面，

設平面平面直線，所以，

因為平面，所以，，

所以是平面與平面所成銳二面角的平面角，

因為平面，

故是直線與平面所成角，即，

設，則，，

設，則，，

所以，所以，

故，所以，

即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

解法二：（2）因為平面，平面，

故是直線與平面所成角，即，

且，，

設，則，，

在中，設，則，，

在中，所以，所以，

以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，

則，，，

則平面的法向量，

設平面的法向量，

因為，，

所以，故，

設平面與平面的夾角為，

則，

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.