Question

若函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ） （ω＞0，0＜φ＜2π），滿(mǎn)足f（x+

π

3

）=f（x-

π

3

），且部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）若α∈（π，2π），且f（

α

3

+

π

12

）+f（

α

3

-

π

12

）=-1，求cosα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得f（x）解析式．
（Ⅱ）根據(jù)條件，利用三角恒等變換求出sin（α-

π

4

）=

1

2

，可得α=

5π

6

+

π

4

，從而求得cosα的值．

解答： 解：（ I ）依題設(shè)f（x+

π

3

）=f（x-

π

3

）知：f（x+

2π

3

）=f（x），可得f（x）的周期T=

2π

3

，故ω=3．
故f（x）=sin（3x+φ）-cos（3x+φ）=

2

sin（3x+φ-

π

4

）．
又點(diǎn)（

π

12

，0）在其圖象上，可得

2

sinφ=0，求得sinφ=0，
又0＜φ＜2π，可得φ=π，故f（x）=-

2

sin（3x-

π

4

）為所求．
（ II ）依題設(shè)及（ I ）知：f（

α

3

+

π

12

）+f（

α

3

-

π

12

）=-

2

sinα-

2

sin（α-

π

2

）=-1．
整理得：

2

sinα-

2

cosα=1，求出sin（α-

π

4

）=

1

2

．
又依題設(shè)：α∈（π，2π），可得α-

π

4

=

5π

6

，求得α=

5π

6

+

π

4

．
故cosα=cos（

5π

6

+

π

4

）=-

6 + 2

4

為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，屬于基礎(chǔ)題．