Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）滿足f（0）＝0，對(duì)于任意x∈R，都有f（x）≥x，且，令g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．

（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；

（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)λ＞2時(shí)，判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x2+x（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（3）答案不唯一，具體見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用可得：函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為，即可列方程求得a＝b，由“對(duì)于任意x∈R，都有f（x）≥x”可得a＞0，且△＝（b﹣1）2≤0，可得：b＝1，a＝1，問(wèn)題得解。

（2）整理可得：g（x），對(duì)分類，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解。

（3）對(duì)的取值范圍分類，利用函數(shù)零點(diǎn)存在性判斷方法求解。

解：（1）∵f（0）＝0，∴c＝0，

∵對(duì)于任意x∈R都有，

∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為，即，得a＝b，

又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0對(duì)于任意x∈R都成立，

∴a＞0，且△＝（b﹣1）2≤0，

∵（b﹣1）2≥0，∴b＝1，a＝1，

∴f（x）＝x2+x；

（2）解：g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|，

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）＝x2+（1﹣λ）x+1的對(duì)稱軸為，

若，即0＜λ≤2，函數(shù)g（x）在（）上單調(diào)遞增；

若，即λ＞2，函數(shù)g（x）在（）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減．

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）＝x2+（1+λ）x﹣1的對(duì)稱軸為，

則函數(shù)g（x）在（）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)0＜λ≤2時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（），單調(diào)遞減區(qū)間為（）；

當(dāng)λ＞2時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（）和（），單調(diào)遞減區(qū)間為（）和（）；

（3）當(dāng)λ＞2時(shí)，則，而g（0）＝﹣1＜0，，g（1）＝2﹣|λ﹣1|，

（�。┤�2＜λ≤3，由于，

且，

此時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)；

（ⅱ）若λ＞3，由于且g（1）＝2﹣|λ﹣1|＜0，此時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）

上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)2＜λ≤3時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)λ＞3時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．