Question

某足球俱樂(lè)部和其他4支俱樂(lè)部進(jìn)行足球聯(lián)賽，它要與其他每支球隊(duì)各賽一場(chǎng)，在4場(chǎng)的任意一場(chǎng)中，此俱樂(lè)部每次勝、負(fù)、平的概率相等．已知當(dāng)這四場(chǎng)比賽結(jié)束后，該俱樂(lè)部勝場(chǎng)多于負(fù)場(chǎng)．
（Ⅰ）求該俱樂(lè)部勝場(chǎng)多于負(fù)場(chǎng)的所有可能的個(gè)數(shù)和；
（Ⅱ）若勝場(chǎng)次數(shù)為X，求出X的分布列并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）分情況考慮，若勝一場(chǎng)，則其余為平，若勝兩場(chǎng)，則其余兩場(chǎng)有一負(fù)一平和兩平兩種情況，若勝三場(chǎng)，則其余一場(chǎng)有負(fù)和平兩種情況，若勝四場(chǎng)，則只有一種情況，共有1，求出所求的可能個(gè)數(shù)；
（II）X可能取值為1、2、3、4，分別求出所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式進(jìn)行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）若勝一場(chǎng)，則其余為平，共有C₄¹=4，…（2分）
若勝兩場(chǎng)，則其余兩場(chǎng)有一負(fù)一平和兩平兩種情況，共有C₄²C₂¹+C₄²=18，…（4分）
若勝三場(chǎng)，則其余一場(chǎng)有負(fù)和平兩種情況，共有C₄³×2=8，…（6分）
若勝四場(chǎng)，則只有一種情況，共有1，綜上，共有31種情況．…（8分）
（Ⅱ）X可能取值為1，2，3，4，P(X=1)=

4

31

，P(x=2)=

18

31

，P(x=3)=

8

31

，P(x=4)=

1

31

，
所以分布列為．

X	1	2	3	4
P	4 31	18 31	8 31	1 31

…（10分）   E(X)=

68

31

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望，以及離散型隨機(jī)變量及其分布列，屬于基礎(chǔ)題．