已知以下三條曲線:
x2
a2
+
y2
b2
=1,
x2
a2
-
y2
b2
=1
,
y2
b2
-
x2
a2
=1
(a>b>0)的離心率分別為e1,e2,e3,對e1,e2,e3給出下列四個命題:(1)e1e2<1;(2)e2>e3;(3)
1
e22
+
1
e32
=1
;(4)e22+e32>4.其中正確命題的序號是
 
分析:由題設條件,利用橢圓、雙曲線的性質推導出e1=
a2-b2
a
,e2=
a2+b2
a
,e3=
a2+b2
b
,由此進行運算,能求出結果.
解答:解:∵
x2
a2
+
y2
b2
=1,
x2
a2
-
y2
b2
=1
,
y2
b2
-
x2
a2
=1
(a>b>0)的離心率分別為e1,e2,e3,
e1=
a2-b2
a
,e2=
a2+b2
a
,e3=
a2+b2
b
,
∴e1e2=
a2-b2
a
×
a2+b2
a
=
a4-b4
a2
=
1-(
b
a
)4
<1,
即(1)正確;
∵a>b,∴e2=
a2+b2
a
e3=
a2+b2
b
,即(2)錯誤;
1
e22
+
1
e32
=
a2
a2+b2
+
b2
a2+b2
=1,即(3)正確;
e22+e32=
a2+b2
a2
+
a2+b2
b2

=
a2b2+b4+a4+a2b2
a2b2

=2+
a4+b4
a2b2
≥4,即(4)正確.
故答案為:(1)(3)(4).
點評:本題考查橢圓、雙曲線的簡單性質的應用,是基礎題,解題時要注意等價轉化思想的合理運用.
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x2
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=1
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