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16.已知點(diǎn)P為圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為Q(P與Q不重合),M為線段PQ中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)直線y=kx交(1)中軌跡C于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線MA,MB斜率KMA,KMB都存在時(shí),求證:KMA•KMB為定值.

分析 (1)設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,2y),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x,0),因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上,代入求解即可.
(2)設(shè)A(x0,y0),B(-x0,-y0),再設(shè)M坐標(biāo)為(x,y),求出直線MA,MB斜率KMA,KMB,利用KMAKMB=y2y02x2x02,點(diǎn)M,A在橢圓C上,所以{x24+y2=1x024+y2=1,利用平方差法轉(zhuǎn)化求解即可.

解答 解:(1)設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,2y),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x,0),因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上,
所以x2+4y2=4,即x24+y2=1,
又P與Q不重合,所以y≠0,點(diǎn)M的軌跡C的方程為x24+y2=1y0;
(2)證明:因?yàn)橹本€y=kx過原點(diǎn),所以A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不妨設(shè)其坐標(biāo)為A(x0,y0),B(-x0,-y0),再設(shè)M坐標(biāo)為(x,y),則直線MA,MB斜率KMA,KMB分別為KMA=yy0xx0,KMB=y+y0x+x0,所以KMAKMB=y2y02x2x02,
因?yàn)辄c(diǎn)M,A在橢圓C上,所以{x24+y2=1x024+y2=1
相減得x2x024+y2y02=0,整理得y2y02x2x02=14,即KMAKMB=14
所以KMA•KMB為定值,得證.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,橢圓方程的求法,平方差法的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

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