Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)度為3的線段的端點(diǎn)、分別在，軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段上，且，

（1）若點(diǎn)的軌跡為曲線，求其方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于不同兩點(diǎn)、，是曲線上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)求軌跡問題可用相關(guān)點(diǎn)法得到軌跡方程；

（2）設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，得到一元二次方程，通過韋達(dá)定理表示出面積函數(shù)，從而求導(dǎo)求最值即可得到答案.

解：（1）由題知，設(shè)，，

有代入得，

所以曲線的方程是

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即：，此時(shí)

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，

聯(lián)立，有，

由題知過的直線，且與橢圓切于點(diǎn)時(shí)，最大，故設(shè):

聯(lián)立與橢圓方程得，此時(shí)

與的距離，所以

化簡(jiǎn)

設(shè)，，有

，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即時(shí)，

綜上所述