（B題）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為2
3
，離心率為
3
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（-1，1），過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值．
（1）設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
由題意，得
2a=2
3
c
a
=
3
3
，解得
a=
3
c=1
，所以b2=2．
所求的橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1．
（2）當(dāng)BC垂直于x軸時(shí)，因點(diǎn)A（-1，1），|BC|=2
2
，S△ABC=
2
，
當(dāng)BC不垂直于x軸時(shí)，設(shè)該直線方程為y=kx，代入
x2
3
+
y2
2
=1，得x2=
6
2+3k2
，
|BC|=2
1+k2
|x|=2
6
•
1+k2
3k2+2
，又點(diǎn)A到BC的距離d=
|1+k|
1+k2
，
所以S△ABC=
1
2
|BC|•d=
6
•
|k+1|
3k2+2
=
6
•
(k+1)2
3k2+2
=
2
•
1+
6k+1
3k2+2
，
設(shè)6k+1=t，得S△ABC=
2
•
1+
12t
t2-2t+25
=
2
•
1+
12
t+
25
t
-2
≤
5
，此時(shí)k=
2
3
，
綜上知當(dāng)k=
2
3
，時(shí)△ABC面積有最大值為
5
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直線L：y=kx+1與橢圓C：ax2+y2=2（a＞1）交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）若k=1，且四邊形OAPB為矩形，求a的值；
（2）若a=2，當(dāng)k變化時(shí)（k∈R），求點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓中，D為半圓弧的中心，P為半圓弧上一點(diǎn)，且AB=4，∠POB=30°，雙曲線C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積不小于2
2
，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，其中一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦點(diǎn)．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，C是直線L1：y=mx+6上任一點(diǎn)（A、B、C三點(diǎn)不共線）試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知三點(diǎn)P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）．
（Ⅰ）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)分別為P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

【理科】已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦點(diǎn)．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右頂點(diǎn)分別為B1，B2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．原點(diǎn)到直線A2B2的距離為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點(diǎn)且斜率為
1
2
的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點(diǎn)，試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；
（3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求拋物線的方程；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓C1：x2+y2=
4
5
，直線l：y=x+m（m＞0）與圓C1相切，且交橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)于A1，B1兩點(diǎn)，c是橢圓C2的半焦距，c=
3
b．
（1）求m的值；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
OA1
⊥
OB1
，求橢圓C2的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)橢圓C2的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，動點(diǎn)S（x1，y1）∈C2（y1＞0）直線AS，BS與直線x=
34
15
分別交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長度的最小值．

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同步練習(xí)冊答案