Question

已知函數(shù)f（x）=2x-1（x∈R）．規(guī)定：給定一個實數(shù)x，賦值x₁=f（x），若x₁≤257，則繼續(xù)賦值x₂=f（x₁）；若x₂≤257，則繼續(xù)賦值x₃=f（x₂）；…，以此類推．若x_n-1≤257，則x_n=f（x_n-1），否則停止賦值．已知賦值k（k∈N^*）次后該過程停止，則x的取值范圍是（ ）
A．（2^7-k+1，2^8-k+1]
B．（2^8-k+1，2^9-k+1]
C．（2^9-k+1，2^10-k+1]
D．（2^8-k，2^9-k]

Answer 1

【答案】分析：由題意，可先解出x₁，x₂，x₃，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想出x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx-=2^kx-2^k+1，再由題設(shè)條件x_n-1≤257，則x_n=f（x_n-1），否則停止賦值，可得到2^kx-2^k+1＞257，且2^k-1x-2^k-1+1≤257，解此二不等式即可得到x的取值范圍選出正確選項．
解答：解：由題意x₁=f（x）=2x-1；
x₂=f（x₁）=2x₁-1=2（2x-1）-1=2²x-2-1；
x₃=f（x₂）=2x₂-1=2（2²x-2-1）-1=2³x-2²-2-1；
…，
x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx-=2^kx-2^k+1；
令2^kx-2^k+1＞257，且2^k-1x-2^k-1+1≤257，
解得2^8-k+1＜x≤2^9-k+1
故x的取值范圍是（2^8-k+1，2^9-k+1]
故選B
點評：本題考查歸納推理，等比數(shù)列的求和公式，解題的特點是先列舉幾個特殊例子找出規(guī)律，從而利用規(guī)律得出結(jié)論，解答本題，理解賦值終止的條件是關(guān)鍵．