Question

已知橢圓與雙曲線

x2

3

-y2=1有共同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（2，3），求雙曲線的漸近線及橢圓的方程．

Answer 1

分析：先把曲線的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程，其漸近線方程是

x2

3

-y2=0，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．利用橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)出橢圓方程，再利用點(diǎn)P（2，3）適合橢圓方程，就可求出橢圓的方程．

解答：解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式為

x2

3

-y2=1，
其漸近線方程是

x2

3

-y2=0，
整理得雙曲線的漸近線為：x±

3

y=0．
由共同的焦點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），可設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，
點(diǎn)P（2，3）在橢圓上，

4 a2 + 9 b2 =1 a 2-b 2=4

，
∴a²=16，b²=12，
所以橢圓方程為：

y2

16

+

x2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．在求雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一定要先分析焦點(diǎn)所在位置，再設(shè)方程，避免出錯(cuò)．