Question

已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，由四個(gè)點(diǎn)M(－a，b)、N(a，b)、F₂和F₁組成了一個(gè)高為，面積為3的等腰梯形．

(1)求橢圓的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F₁的直線和橢圓交于兩點(diǎn)A，B，求△F₂AB面積的最大值．

Answer 1

解　(1)由條件，得b＝，且×＝3，

所以a＋c＝3.又a²－c²＝3，解得a＝2，c＝1.

所以橢圓的方程＋＝1.

(2)顯然，直線的斜率不能為0，設(shè)直線方程為x＝my－1，直線與橢圓交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

聯(lián)立方程消去x，

得(3m²＋4)y²－6my－9＝0，

因?yàn)橹本�過(guò)橢圓內(nèi)的點(diǎn)，無(wú)論m為何值，直線和橢圓總相交．

∴y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－.

S△F₂AB＝|F₁F₂||y₁－y₂|＝|y₁－y₂|

＝令t＝m²＋1≥1，設(shè)y＝t＋，易知t∈時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，t∈函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝m²＋1＝1，即m＝0時(shí)，y_min＝.

S△F₂AB取最大值3.