Question

解答題： 如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)． (1) 求證AM//平面BDE； (2) 求二面角A- DF- B的大小； (3) 試在線(xiàn)段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60°

Answer 1

答案：
解析：

(1)	方法一：解：記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE， ∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形， ∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE． ∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE． 　　方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
(2)	方法一：在平面AFD中過(guò)A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS， ∵AB⊥AF，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影， 由三垂線(xiàn)定理得BS⊥DF． ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角． 在RtΔASB中，∴ ∴二面角A—DF—B的大小為60o． 　　方法二：∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF． ∴為平面DAF的法向量． ∵·＝(·＝0， ∴·＝(·＝0得 ⊥，⊥，∴為平面BDF的法向量． ∴cos＜，＞＝∴與的夾角是60o，即所求二面角A—DF—B的大小是60o．
(3)	方法一：解：設(shè)CP＝t(0≤t≤2)，作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD， ∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，， ∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF． 在RtΔPQF中，∠FPQ＝60o，PF＝2PQ． ∵△PAQ為等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF為直角三角形， ∴，∴ 所以t＝1或t＝3(舍去)即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)． 　　方法二：設(shè)P(t，t，0)(0≤t≤)得 ∴＝(，0，0)又∵和所成的角是60o． ∴解得或(舍去)，