Question

已知x、y為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式x²－2x＋4y²＝0，求x·y的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：4y2＝2x－x2，∵y＞0，∴y＝． 　　∴x·y＝x·．由解得0＜x≤2． 　　設(shè)f(x)＝xy＝(0＜x≤2)． 　　當(dāng)0＜x＜2時，(x)＝[]＝． 　　令(x)＝0，得x＝或x＝0(舍)， 　　∴f()＝．又f(2)＝0，∴函數(shù)f(x)的最大值為，即x·y的最大值為． 　　方法二：由x2－2x＋4y2＝0，得(x－1)2＋4y2＝1(x＞0，y＞0)． 　　設(shè)x－1＝cosα，y＝sinα(0＜α＜π)， 　　∴x·y＝sinα(1＋cosα)． 　　設(shè)f(α)＝sinα(1＋cosα)， 　　則(α)＝[－sin2α＋(1＋cosα)·cosα] 　　＝(2cos2α＋cosα－1)＝(cosα＋1)(cosα－)． 　　令(α)＝0，得cosα＝－1或cosα＝． 　　∵0＜α＜π，∴α＝，此時x＝，y＝． 　　∴f()＝． 　　∴[f()]max＝， 　　即當(dāng)x＝，y＝時，[x·y]max＝． 　　思路分析：題中有兩個變量x和y，首先應(yīng)選擇一下主要變量，將x、y表示為某一個變量(x或y或其他變量)的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化．同時根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)(或均值不等式等)求函數(shù)的最大值．

提示：

明確解決問題的策略、指向和思考方法需要抓住問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟真諦，巧施轉(zhuǎn)化．在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程中，關(guān)鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設(shè)條件以免解題時陷于困境，功虧一簣．