已知x、y為正實(shí)數(shù),且滿足關(guān)系式x2-2x+4y2=0,求x·y的最大值.
解:方法一:4y2=2x-x2,∵y>0,∴y= ∴x·y= 設(shè)f(x)=xy= 當(dāng)0<x<2時, 令 ∴f( 方法二:由x2-2x+4y2=0,得(x-1)2+4y2=1(x>0,y>0). 設(shè)x-1=cosα,y= ∴x·y= 設(shè)f(α)= 則 = 令 ∵0<α<π,∴α= ∴f( ∴[f( 即當(dāng)x= 思路分析:題中有兩個變量x和y,首先應(yīng)選擇一下主要變量,將x、y表示為某一個變量(x或y或其他變量)的函數(shù)關(guān)系,實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.同時根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍,再利用導(dǎo)數(shù)(或均值不等式等)求函數(shù)的最大值. |
明確解決問題的策略、指向和思考方法需要抓住問題的本質(zhì),領(lǐng)悟真諦,巧施轉(zhuǎn)化.在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程中,關(guān)鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設(shè)條件以免解題時陷于困境,功虧一簣. |
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