如圖(1)是一正方體的表面展開圖,MN和PB是兩條面對角線,請在圖(2)的正方體中將MN和PB畫出來,并就這個正方體解決下面問題.
(Ⅰ)求證:MN平面PBD;
(Ⅱ)求證:AQ⊥平面PBD;
(Ⅲ)求二面角P-DB-M的正切值.
精英家教網(wǎng)

精英家教網(wǎng)
MN和PB的位置如右圖示:(正確標出給1分)
(Ⅰ)證明:∵NDMB 且ND=MB
∴四邊形NDBM為平行四邊形
∴MNDB------------------------(3分)
∵NM?平面PDB,DB?平面PDB
∴MN平面PBD---------------------------------(4分)
(Ⅱ)證明:∵QC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥QC-------------(5分)
精英家教網(wǎng)

又∵BD⊥AC,∴BD⊥平面AQC,--------------------------(6分)
∵AQ?面AQC,∴AQ⊥BD,
同理可得AQ⊥PB,
∵BD∩PB=B
∴AQ⊥面PDB---------------------------------------------------------------------(8分)
(Ⅲ)解法1:分別取DB、MN中點E、F,連結PE、EF、PF------------------(9分)
∵在正方體中,PD=PB
∴PE⊥DB---------------------------------(10分)
∵四邊形NDBM為矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF為二面角P-DB-M的平面角------------(11分)
∵EF⊥面PMN,∴EF⊥PF
設正方體的棱長為a,則在直角三角形EFP中
EF=a,PF=
2
2
a
,
tan∠PEF=
PF
EF
=
2
2
-----(14分)
解法2:設正方體的棱長為a,
精英家教網(wǎng)

以D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖示:
則點A(a,0,0),P(a,0,a),Q(0,a,a)--------------(9分)
PQ
=(-a,a,0)
,
AQ
=(-a,a,a)
--------------(10分)
∵PQ⊥面DBM,由(Ⅱ)知AQ⊥面PDB
AQ
PQ
分別為平面PDB、平面DBM的法向量-------------------(12分)
cos<
AQ
,
PQ
>=
AQ
PQ
|
AQ
|•|
PQ|
=
2a2
2
a•
3
a
=
6
3

tan<
AQ
,
PQ
>=
2
2
------------------------------------------(14分)]
練習冊系列答案
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(2)求證:AQ⊥平面PBD;
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(Ⅰ)求證:MN∥平面PBD;
(Ⅱ)求證:AQ⊥平面PBD;
(Ⅲ)求二面角P-DB-M的正切值.

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如圖(1)是一正方體的表面展開圖,是兩條面對角線,請在圖(2)的正方體中將畫出來,并就這個正方體解決下面問題.

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(Ⅱ)求證:⊥平面;
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    如圖(1)是一正方體的表面展開圖,MN 和PB 是兩條面對角線,請在圖(2)的正方體中將MN 和PB 畫出來,并就這個正方體解決下面問題。

   (1)求證:MN//平面PBD;

   (2)求證:AQ⊥平面PBD;

   (3)求二面角P—DB—M 的大小.

 

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(14 分)如圖(1)是一正方體的表面展開圖,MN 和PB 是兩條面對角線,請在圖(2)的正方體中將MN 和PB 畫出來,并就這個正方體解決下面問題。

   (1)求證:MN//平面PBD;

   (2)求證:AQ⊥平面PBD;

   (3)求二面角P—DB—M 的大。

 

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