Question

如圖（1）是一正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對角線，請在圖（2）的正方體中將MN和PB畫出來，并就這個正方體解決下面問題．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PBD；
（Ⅱ）求證：AQ⊥平面PBD；
（Ⅲ）求二面角P-DB-M的正切值．

Answer 1

MN和PB的位置如右圖示：（正確標出給1分）
（Ⅰ）證明：∵ND∥MB 且ND=MB
∴四邊形NDBM為平行四邊形
∴MN∥DB------------------------（3分）
∵NM?平面PDB，DB?平面PDB
∴MN∥平面PBD---------------------------------（4分）
（Ⅱ）證明：∵QC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥QC-------------（5分）


又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC，--------------------------（6分）
∵AQ?面AQC，∴AQ⊥BD，
同理可得AQ⊥PB，
∵BD∩PB=B
∴AQ⊥面PDB---------------------------------------------------------------------（8分）
（Ⅲ）解法1：分別取DB、MN中點E、F，連結PE、EF、PF------------------（9分）
∵在正方體中，PD=PB
∴PE⊥DB---------------------------------（10分）
∵四邊形NDBM為矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF為二面角P-DB-M的平面角------------（11分）
∵EF⊥面PMN，∴EF⊥PF
設正方體的棱長為a，則在直角三角形EFP中
∵EF=a，PF=

2

2

a，
∴tan∠PEF=

PF

EF

=

2

2

-----（14分）
解法2：設正方體的棱長為a，


以D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖示：
則點A（a，0，0），P（a，0，a），Q（0，a，a）--------------（9分）
∴

PQ

=(-a，a，0)，

AQ

=(-a，a，a)--------------（10分）
∵PQ⊥面DBM，由（Ⅱ）知AQ⊥面PDB
∴

AQ

、

PQ

分別為平面PDB、平面DBM的法向量-------------------（12分）
∴cos＜

AQ

，

PQ

＞=

AQ • PQ

| AQ |•| PQ|

=

2a2

2 a• 3 a

=

6

3

∴tan＜

AQ

，

PQ

＞=

2

2

------------------------------------------（14分）]