分析 (1)取PC中點(diǎn)M,連結(jié)FM,EM,推導(dǎo)出四邊形AEMF是平行四邊形,從而EM∥AF,由此能證明AF∥平面PCE.
(2)推導(dǎo)出AF⊥PD,PA⊥CD,從而CD⊥平面PAD,由此能證明AF⊥平面PCD.
(3)推導(dǎo)出PA⊥BC,AB⊥BC,∠PBA是平面PBC與平面ABCD所成的二面角的平面角,由此能求出平面PBC與平面ABCD所成的二面角的余弦值.
解答 證明:(1)取PC中點(diǎn)M,連結(jié)FM,EM,
則FM是△DPC的中位線,∴FM∥=12CD
∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥=CD,
∵E是AB中點(diǎn),∴FM∥=12AB,
∴四邊形AEMF是平行四邊形,∴EM∥AF,
∵AF?平面AFM,EM?平面AFM,
∴AF∥平面PCE.(4分)
解:(2)∵PA=AD,F(xiàn)為PD的中點(diǎn),∴AF⊥PD,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
∵四邊形ABCD是矩形
∴CD⊥AD,又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,
又AF?平面PAD,∴AF⊥CD,
∵CD∩PD=D,∴AF⊥平面PCD.(9分)
(3)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,
∵四邊形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,
∵AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB,
∴∠PBA是平面PBC與平面ABCD所成的二面角的平面角,
∵tan∠PBA=√62,∴cos∠PBA=√105,
∴平面PBC與平面ABCD所成的二面角的余弦值為√105.(14分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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