Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），且經(jīng)過點(diǎn)A（

3

2

，

3

2

）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C上兩點(diǎn)M，N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2），求△OMN面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已和條件推導(dǎo)出

a2-b2=2 3 4 a2 + 3 4 b2 =1

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出△OMN面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)左、右焦點(diǎn)
分別是F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），且經(jīng)過點(diǎn)A（

3

2

，

3

2

），
∴

a2-b2=2 3 4 a2 + 3 4 b2 =1

，解得a²=3，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，
聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 3 +y2=1

，消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+3k2

．

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2），
∴x₁₁+x₂=

3

2

λ，y₁+y₂=

3

2

λ，
得k_MN=-

1

3

，m=

3

3

λ，于是x₁+x₂=

3m

2

，x₁x₂=

9m2-9

4

，
∴|MN|=

1+(- 1 3 )2|x1-x2|

=

10

3

(x1+x2)-4x1x2

=

10 • 4-3m2

2

．
又∵λ＞0，原點(diǎn)O到直線MN的距離為d=

3 10 m

10

，
∴S_△OMN=

1

2

|MN|d
=

10 • 4-3m2

4

•

3 10 m

10

=

3 • (4-3m2)•3m2

4

≤

3

2

．
當(dāng)m=

6

3

，即λ=

2

時(shí)，等號(hào)成立，S_△OMN的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．