如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2．

(1)求直線AM與平面BCD所成角的大��；

(2)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

答案：
解析：

　　解法一：(1)取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則．

　　又平面平面BCD，則平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延長AM、BO相交于E，則就是AM與平面BCD所成的角．，則

　　，所以，故．

　　(2)CE是平面ACM與平面BCD的交線．由(1)知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形．作于F，連AF，則，就是二面角的平面角，設(shè)為．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/2239/0020/01af883edd9c13aea0634aa2bfa7203d/C/Image54.gif" width=90 height=21>，所以．

　　，，．

　　所以，所求二面角的正弦值是


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知四邊形ABCD為菱形，AB=6，∠BAD=60°，兩個(gè)正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)棱長都相等，如圖，E、M、N分別在AD、
AB、AP上，且AM=AE=2，AN=
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AP，MN⊥PE．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面體SPABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)正四面體A-BCD的棱長為1，（Ⅰ）如圖（1）M為CD中點(diǎn)，求異面直線AM與BC所成的角；（Ⅱ）將正四面體沿AB、BD、DC、BC剪開，作為正四棱錐的側(cè)面如圖（2），求二面角M-AB-E的大�。唬á螅┤魧D（1）與圖（2）面ACD重合，問該幾何體是幾面體（不需要證明），并求這幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

正四面體A-BCD的棱長為1，（Ⅰ）如圖（1）M為CD中點(diǎn)，求異面直線AM與BC所成的角；（Ⅱ）將正四面體沿AB、BD、DC、BC剪開，作為正四棱錐的側(cè)面如圖（2），求二面角M-AB-E的大�。唬á螅┤魧D（1）與圖（2）面ACD重合，問該幾何體是幾面體（不需要證明），并求這幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年安徽省六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知四邊形ABCD為菱形，AB=6，∠BAD=60°，兩個(gè)正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)棱長都相等，如圖，E、M、N分別在AD、
AB、AP上，且．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面體SPABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年安徽省六校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知四邊形ABCD為菱形，AB=6，∠BAD=60°，兩個(gè)正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)棱長都相等，如圖，E、M、N分別在AD、
AB、AP上，且．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面體SPABC的體積．

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