四棱錐A-BCDE的正視圖和俯視圖如下,其中正視圖是等邊三角形,俯視圖是直角梯形.
(I)若F為AC的中點,當(dāng)點M在棱AD上移動時,是否總有BF丄CM,請說明理由.
(II)求三棱錐的高.

【答案】分析:(Ⅰ)總有BF丄CM.取BC的中點O,連接AO,由AO⊥平面BCDE,可得AO⊥CD,可證CD⊥面ABC,有CD⊥BF,根據(jù)F是AC的中點,可得BF⊥AC,從而可得BF⊥面ACD,進而可得BF丄CM;
(Ⅱ)先計算VA-CDE==,設(shè)三棱錐C-ADE的高為h,再計算VC-ADE=,利用VA-CDEV=C-ADE,即可求得三棱錐C-ADE的高.
解答:解:(Ⅰ)總有BF丄CM.理由如下:
取BC的中點O,連接AO,
由俯視圖可知,AO⊥平面BCDE,CD?平面BCDE,
所以AO⊥CD                …(2分)
又CD⊥BC,AO∩BC=O,所以CD⊥面ABC,
因為BF?面ABC,
故CD⊥BF.
因為F是AC的中點,所以BF⊥AC.…(4分)
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD,
因為CM?面ACD,所以BF丄CM.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,AO⊥平面BCDE,,
又在正△ABC中,AO=
所VA-CDE==,…(8分)
在直角△ABE中,AE=
在直角梯形BCDE中,DE=,
在直角△ACD中,AD=2,
在△ADE中,S△ADE===,…(10分)
設(shè)三棱錐C-ADE的高為h,則VC-ADE=,
又VA-CDEV=C-ADE
可得,解得h=
所以,三棱錐C-ADE的高為.…(12分)
點評:本題考查線面垂直,考查三棱錐體積的計算,掌握線面垂直的判定,正確計算體積是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥CD,AD=2BC=2CD=4,E為AD的中點,將△ABE沿BE折起,使二面角A-BE-C是直二面角,并連接AC,AD得到四棱錐A-BCDE,如圖2.
(1)求四棱錐A-BCDE的體積;
(2)若M,N分別是BC,AD的中點,求證:MN∥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•石家莊二模)如圖,在四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為直角梯形,且BE∥CD,CD⊥BC.側(cè)面ABC⊥底面BCDE,F(xiàn)為AC的中點,BC=BE=4CD=2,AB=AC.
(Ⅰ)求證:FD⊥CE;
(Ⅱ)若規(guī)定正視方向與平面ABC 垂直,且四棱錐A-BCDE的側(cè)(左)視圖的面積為
3
,求點B到平面ACE的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•�?谀M)四棱錐A-BCDE的正視圖和俯視圖如下,其中正視圖是等邊三角形,俯視圖是直角梯形.
(I)若F為AC的中點,當(dāng)點M在棱AD上移動時,是否總有BF丄CM,請說明理由.
(II)求三棱錐的高.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐A-BCDE的底面BCDE是直角梯形,CE∥BD,∠ECB=90°,AC⊥平面BCDE,CE=CB=CA=2,BD=1.
(Ⅰ)求直線CA與平面ADE所成角的正弦值;
(Ⅱ)在線段ED上是否存在一點F,使得異面直線CF與AB所成角余弦值等
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13
?若存在,試確定點F的位置;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知四棱錐A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥面ABC,BE∥CD,F(xiàn)為AD的中點.
(Ⅰ)求證:EF∥面ABC;
(Ⅱ)求證:平面ADE⊥平面ACD;
(Ⅲ)求四棱錐A-BCDE的體積.

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