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（本小題滿分12分）

已知定義在R上的函數的圖像關于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)當x∈[-1，1]時，圖像上是否存在兩點，使得在此兩點處的切線互相垂直?證明你的結論．

 

 

【答案】

解：(Ⅰ) 因為函數的圖像關于原點對稱，

所以對任意恒成立，

即對任意恒成立，

所以恒成立，故，…………………3分

故，

又時，取極小值，所以，且，

所以………………①

……………………②

解得：，；

所以，（）…………………………………………………6分

（Ⅱ）當時，圖像上不存在兩點使得過此兩點處的切線互相垂直.

證明如下：（方法1，用反證法）

① 假設在的圖像上存在兩點，，使得在此兩點處的切線互相垂直，由(Ⅰ) 可知，且在兩點處的切線斜率均存在.

由假設則有，…………………………8分

從而，

另一方面，，所以，所以，

與前式顯然矛盾.所以，

當時，圖像上不存在兩點使得在此兩點處的切線互相垂直.………………12分

（方法2）

設，為的圖像上兩點，由(Ⅰ) 可知，

且在點和點處的兩條切線的斜率均存在.

不妨設在點處的切線斜率為，在點處的切線斜率為，

則 ，；………………8分

所以  ，

由題意，，

所以，即

綜上所述，當時，圖像上不存在兩點使得在此兩點處的切線互相垂直. ……12分

【解析】略

 

練習冊系列答案
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（文） （本小題滿分12分已知函數y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函數的值域和最小正周期；
（2）求函數的遞減區(qū)間．

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（2011•自貢三模）（本小題滿分12分＞
設平面直角坐標中，O為原點，N為動點，|
ON
|=6，
ON
=
5
•
OM
．過點M作MM1丄y軸于M1，過N作NN1⊥x軸于點N1，
OT
=
M1M
+
N1N
，記點T的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程：
（H）已知直線L與雙曲線C：5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第-象限）．線段OP交軌跡C于A，若
OP
=3
OA
，S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程．

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（2009湖南卷文）（本小題滿分12分）

為拉動經濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎設施工程、民生工程和產業(yè)建設工程三類，這三類工程所含項目的個數分別占總數的、、.現有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設.求：

（I）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.

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某民營企業(yè)生產A，B兩種產品，根據市場調查和預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2，

（注：利潤與投資單位是萬元）

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