Question

已知ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△OED，ODF都是正三角形．
（Ⅰ）證明：平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）求棱錐F-ABC的體積；
（III）求異面直線AB與FD成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形中位線的性質(zhì)證明故BC∥EF，AC∥OF，即可證明平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）利用等體積V_F-ABC=V_C-ABE=V_C-ABO，即可求棱錐F-ABC的體積；
（III）證明∠COE（或其補角）就是異面直線AB與FD成角，取AO中點M，連接CM，ME，則CM⊥平面ABED，在△COE中，利用余弦定理，即可求異面直線AB與FD成角的余弦值．

解答：（I）證明：設(shè)G是線段DA與線段EB延長線的交點，
由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以O(shè)B∥DE，OB=

1

2

DE
同理，設(shè)G′是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG′=OD=2，
又由于G與G′都在線段DA的延長線上，所以G與G′重合，
在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB=

1

2

DE和OC∥DF，OC=

1

2

DF，
可知B，C分別是GE，GF的中點，
所以BC是△GFE的中位線，故BC∥EF
同理AC∥OF，∴平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）解：過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q．由平面ABED⊥平面ACFD，F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=

3

，
由（I）知，V_F-ABC=V_C-ABE=V_C-ABO=

1

3

S△ABO•

3

2

=

1

3

•

3

4

•

3

2

=

1

8

；
（III）解：由（I）知，AB∥OE，CO∥DF
∴∠COE（或其補角）就是異面直線AB與FD成角，
取AO中點M，連接CM，ME，則CM⊥平面ABED，
∵ME=

1 4 +4-2× 1 2 ×2×(- 1 2 )

=

21

2

∴CE=

CM2+ME2

=

3 4 + 21 4

=

6

在△COE中，cos∠COE=

1+4-6

2×1×2

=-

1

4

∴異面直線AB與FD成角的余弦值是

1

4

．

點評：本題考查面面平行，考查三棱錐體積的計算，考查異面直線所成角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．