已知點P是圓x2+y2=1上一動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件(λ為非零常數(shù))的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若存在過點的直線l與曲線C相交于A、B兩點,且=0(O為坐標(biāo)原點),求λ的取值范圍.
【答案】分析:(1)先設(shè)出點P的坐標(biāo),利用題中條件把點M的坐標(biāo)用點P的坐標(biāo)表示出來,最后利用點P在圓x2+y2=1上即可求曲線C的方程;
(2)先把直線方程與曲線方程聯(lián)立求出A、B兩點的坐標(biāo)之間的關(guān)系,代入=0的等價結(jié)論x1x2+y1y2=0即可求λ的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),點M的坐標(biāo)為(x,y),則點Q的坐標(biāo)為(0,y).
,得x=λx,y=y,y=y.(3分)
因為點P在圓x2+y2=1上,則x2+y2=1,所以
故點M的軌跡C的方程為.(7分)
(2)因為直線l的斜率為0時,=0,故可設(shè)直線l的方程為
(*)(10分)
設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則
因為=0,則x1x2+y1y2=0,又

所以,(13分)
因為λ≠0,所以m2=,由≥0⇒-且λ≠0.,

此時(*)的判別式△>0成立,故λ的取值范圍是.(15分)
點評:本題主要考查軌跡方程的求法,直線的方程,向量共線以及向量垂直等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,考查解決問題的能力和運算能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上一動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件
QM
QP
(λ為非零常數(shù))的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若存在過點N(
1
2
,0)
的直線l與曲線C相交于A、B兩點,且
OA
OB
=0(O為坐標(biāo)原點),求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件
QM
=2
QP
的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標(biāo)原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P是圓x2+y2=1上任意一點,過點P作y軸的垂線,垂足為Q,點R滿足
RQ
=
3
PQ
,記點R的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(0,1),點M、N在曲線C上,且直線AM與直線AN的斜率之積為
2
3
,求△AMN的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件數(shù)學(xué)公式的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標(biāo)原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年湖北省黃岡市高考數(shù)學(xué)交流試卷3(文科)(解析版) 題型:解答題

已知點P是圓x2+y2=1上的動點,點P在y軸上的射影為Q,設(shè)滿足條件的點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)過點N(1,0)且斜率為k1(k1≠0)的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A,O為坐標(biāo)原點,直線OA的斜率為k2,求k12+k22的最小值.

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