Question

已知f（x）=，數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)是1，以f（1）為公比的等比數(shù)列；數(shù)列{b_n}中b₁=，且b_n+1=f（b_n），
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）令，{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：對(duì)?n∈N₊有1≤T_n＜4．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，知f（1）=，，由b₁=，且b_n+1=f（b_n），得，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由=n•，知，再由錯(cuò)位相減法能夠求出結(jié)果．
解答：解：（1）∵f（x）=，
∴f（1）==，
∵{a_n}為首項(xiàng)是1，以f（1）為公比的等比數(shù)列，
∴，
∵b₁=，且b_n+1=f（b_n），
∴b_n+1=f（b_n）=，兩邊同時(shí)取倒數(shù)，
得=1+，
∴，
∴為等差數(shù)列，
故．
（2）∵=n•，
∴，
，
兩式相減整理，得，
∵＞0，
∴＜4，
∵
=
=，
∴{T_n}單調(diào)遞增，
∴{T_n}_min=T₁=1，
所以1≤T_n＜4．
點(diǎn)評(píng)：本試題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列求和的綜合運(yùn)用．解決該試題的關(guān)鍵是整體構(gòu)造等差數(shù)列法，以及錯(cuò)位相減法的準(zhǔn)確運(yùn)用．