(1)求an的表達式;
(2)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a,如果b=
a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,需要經(jīng)過幾年(取lg2=0.30)?
思路分析:本題依題意先計算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,歸納猜想第n年后該地區(qū)森林木材的存量,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.由題意知該地區(qū)若發(fā)生水土流失,則森林木材存量必須小于a,建立起an<
a的不等式,解之就可求得相應(yīng)的n值.
解:(1)設(shè)第一年的森林木材存量為a1,第n年后的森林木材存量為an,
∴a1=a(1+)-b=
a-b,
a2=a1-b=
(
a-b)-b=(
)2a-(
+1)b,
a3=a2-b=(
)3a-[(
)2+
+1]b,
由上面的a1,a2,a3推測:an=()na-[(
)n-1+(
)n-2+…+
+1]b=(
)na-4[(
)n-1]b(n∈N*).
證明:①當n=1時,a1=a-b,已證推測成立.
②假設(shè)n=k時,ak=()ka-4[(
)k-1]b成立,則當n=k+1時,
ak+1=ak-b=
{(
)ka-4[(
)k-1]b}-b=(
)k+1a-4[(
)k+1-1]b.
也就是說當n=k+1時,公式也成立.
由①②知對n∈N*,公式成立.
(2)當b=a時,若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失,則森林木材存量必小于
a,
∴()na-4[(
)n-1]
a<
a,即(
)n>5.
兩邊取對數(shù)得nlg>lg5,n>
≈7.
∴經(jīng)過6年后該地區(qū)開始水土流失.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
7 |
9 |
19 |
72 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:設(shè)計選修數(shù)學(xué)-4-5人教A版 人教A版 題型:044
某地區(qū)原有森林木材存量為a,且每年增長率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量.
(1)求an的表達式;
(2)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a,如果b=
a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,需要經(jīng)過幾年?(取lg2=0.30).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:專題七 應(yīng)用性問題 題型:044
某地區(qū)原有森林木材存量為a,且每年的增長率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要,每年年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an為n年后該地區(qū)的森林木材存量,
(1)求an的表達式;
(2)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于,如果b=
,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,要經(jīng)過幾年?(取lg2=0.30)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)求an的表達式;
(2)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a,如果b=
a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎?若會,需要經(jīng)過幾年?(取lg2=0.30).
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