精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情
某地區(qū)原有森林木材存量為a,且每年的增長(zhǎng)率為25%,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b,設(shè)an表示n年后該地區(qū)森林木材的存量.(1)求an的表達(dá)式;
(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a,如果b=a,那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎?若會(huì),需要經(jīng)過幾年(取lg2=0.30)?
思路分析:本題依題意先計(jì)算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,歸納猜想第n年后該地區(qū)森林木材的存量,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.由題意知該地區(qū)若發(fā)生水土流失,則森林木材存量必須小于a,建立起an<a的不等式,解之就可求得相應(yīng)的n值.
解:(1)設(shè)第一年的森林木材存量為a1,第n年后的森林木材存量為an,
∴a1=a(1+)-b=a-b,
a2=a1-b=(a-b)-b=()2a-(+1)b,
a3=a2-b=()3a-[()2++1]b,
由上面的a1,a2,a3推測(cè):an=()na-[()n-1+()n-2+…++1]b=()na-4[()n-1]b(n∈N*).
證明:①當(dāng)n=1時(shí),a1=a-b,已證推測(cè)成立.
②假設(shè)n=k時(shí),ak=()ka-4[()k-1]b成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+1=ak-b={()ka-4[()k-1]b}-b=()k+1a-4[()k+1-1]b.
也就是說當(dāng)n=k+1時(shí),公式也成立.
由①②知對(duì)n∈N*,公式成立.
(2)當(dāng)b=a時(shí),若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失,則森林木材存量必小于a,
∴()na-4[()n-1]a<a,即()n>5.
兩邊取對(duì)數(shù)得nlg>lg5,n>≈7.
∴經(jīng)過6年后該地區(qū)開始水土流失.
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(1)計(jì)算a1,a2,a3的值;
(2)由(1)的結(jié)果,推測(cè)an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論;
(3)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于7 9
a,如果b=19 72
a,那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎?若會(huì),需要經(jīng)過幾年?(取lg2≈0.30)
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(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a,如果b=a,那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎?若會(huì),需要經(jīng)過幾年?(取lg2=0.30).
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(1)求an的表達(dá)式;
(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于,如果b=,那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎?若會(huì),要經(jīng)過幾年?(取lg2=0.30)
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