Question

過(guò)拋物線(xiàn)E：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作斜率率分別為k₁，k₂的兩條不同直線(xiàn)l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁與E交于點(diǎn)A，B，l₂與E交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在直線(xiàn)記為l．
（I）若k₁＞0，k₂＞0，證明：；
（II）若點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離的最小值為，求拋物線(xiàn)E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)方程求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出兩條直線(xiàn)的方程，由兩條直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求出圓M和圓N的圓心M和N的坐標(biāo)，求出向量和的坐標(biāo)，求出數(shù)量積后轉(zhuǎn)化為關(guān)于k₁和k₂的表達(dá)式，利用基本不等式放縮后可證得結(jié)論；
（Ⅱ）利用拋物線(xiàn)的定義求出圓M和圓N的直徑，結(jié)合（Ⅰ）中求出的圓M和圓N的圓心的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩圓的方程，作差后得到兩圓的公共弦所在直線(xiàn)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離，利用k₁+k₂=2轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知量的代數(shù)式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，則拋物線(xiàn)E的方程可求．
解答：解：（I） 由題意，拋物線(xiàn)E的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)l₁的方程為．
由，得．
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
從而x₁+x₂=2pk₁，．
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，．
同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，．
于是．
由題設(shè)k₁+k₂=2，k₁＞0，k₂＞0，k₁≠k₂，所以0＜．
故．
（Ⅱ）由拋物線(xiàn)的定義得，，
所以，從而圓M的半徑．
故圓M的方程為，
化簡(jiǎn)得．
同理可得圓N的方程為
于是圓M，圓N的公共弦所在的直線(xiàn)l的方程為．
又k₂-k₁≠0，k₁+k₂=2，則l的方程為x+2y=0．
因?yàn)閜＞0，所以點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離為
=．
故當(dāng)時(shí)，d取最小值．由題設(shè)，解得p=8．
故所求拋物線(xiàn)E的方程為x²=16y．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．