Question

已知函數f（x）=x²-cosx，對于[-π，π]上的任意x₁，x₂，有如下條件：
①x₁＞x₂；
②x₁²＞x₂²；
③|x₁|＞x₂；
④x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件是

 

．（寫出所有序號）

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：函數的性質及應用

分析：當x²₁＞x²₂時，有|x₁|＞|x₂|，在區(qū)間[0，

π

2

]內，有

π

2

≥x₁＞x₂≥0，f（x₁）＞f（x₂），在區(qū)間[-

π

2

，0]內，f（x₁）＞f（x₂），從而在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]內恒有f（x₁）＞f（x₂）；由函數f（x）=x²-cosx是偶函數，由函數的對稱性知離原點越近值越小，由此得x₁＞|x₂|時恒有f（x₁）＞f（x₂）．

解答： 解：此題最好用數形結合的方法求解．
當x²₁＞x²₂時，有|x₁|＞|x₂|；
故在區(qū)間[0，

π

2

]內，有

π

2

≥x₁＞x₂≥0，
由圖中綠線可見：f（x₁）＞f（x₂），
在區(qū)間[-

π

2

，0]內，有-x₁＞-x₂，
即有-

π

2

≤x₁＜x₂≤0，
仍由圖中綠線可見：f（x₁）＞f（x₂）
故在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]內恒有f（x₁）＞f（x₂）．
由函數f（x）=x²-cosx是偶函數，
由函數的對稱性知離原點越近值越小，
∴x₁＞|x₂|時恒有f（x₁）＞f（x₂）．
故答案為：②④．

點評：本題主要考查函數與導數等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想等．