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    已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)(1,
    3
    2
    )在橢圓C上.
    (1)求橢圓C的方程;
    (2)過(guò)F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且△AF2B的面積為
    12
    2
    7
    ,求直線l的方程.
    分析:(1)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并求出橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),又點(diǎn)(1,
    3
    2
    )在橢圓C上,利用橢圓定義可求出長(zhǎng)軸長(zhǎng),從而求出橢圓C的方程;
    (2)為避免討論可設(shè)過(guò)F1的直線l的方程為x=ty-1,和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出直線和橢圓兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積,△AF2B的面積就是
    1
    2
    |F1F2||y1-y2|
    =
    12
    2
    7
    ,由此求出t的值,則直線l的方程可求.
    解答:解:(1)由題意可設(shè)橢圓C的方程為
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1
    (a>b>0),
    由|F1F2|=2得c=1,∴F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),
    又點(diǎn)(1,
    3
    2
    )在橢圓C上,∴2a=
    (1+1)2+(
    3
    2
    )2
    +
    (1-1)2+(
    3
    2
    )2
    =4
    ,a=2.則b2=a2-c2=4-1=3.
    ∴橢圓C的方程為
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ;
    (2)如圖,
    設(shè)直線l的方程為x=ty-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
    把x=ty-1代入
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ,得:(3t2+4)y2-6ty-9=0
    y1+y2=
    6t
    3t2+4
    y1y2=
    -9
    3t2+4
    ,
    |y1-y2|=
    (y1+y2)2-4y1y2
    =
    (
    6t
    3t2+4
    )2-4×
    -9
    (3t2+4)
    =
    12
    t2+1
    3t2+4
    ,
    S=
    1
    2
    |F1F2||y1-y2|=
    12
    t2+1
    3t2+4
    =
    12
    2
    7
    ,
    解得:t2=-
    17
    18
    (舍)或t2=1,t=±1.
    故所求直線方程為:x±y+1=0.
    點(diǎn)評(píng):本題考查了利用定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,采用了設(shè)而不求的數(shù)學(xué)方法,該題把直線l的方程設(shè)為x=ty-1,避免了討論直線斜率存在和不存在的情況,此題屬中檔題.
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    點(diǎn),左焦

    (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (2)若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程;

    (3)過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B、C,求△ABC面積的最大值。

     

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