Question

已知，g（x）=x³-3a²x-2a（a≥1），且它們定義域均為[0，1]
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性并予以證明；
（3）若對(duì)任意t∈[0，1]，總有g(shù)（x）≤f（t）在x∈[0，1]時(shí)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，
令得x=-3或x=1
∵函數(shù)定義域?yàn)閇0，1]
∴x=1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值-4；
（2）g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a）
∵函數(shù)定義域?yàn)閇0，1]，a≥1
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間是[0，1]，
（3）由（1）知，函數(shù)f（x）的最小值為-4，所以問(wèn)題等價(jià)為 x³-3a²x-2a≤-4（a≥1），在x∈[0，1]時(shí)恒成立
由（2）知，x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值，所以-2a≤-4，故a≥2．
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，從而可知x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)定義域?yàn)閇0，1]，a≥1，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）由（1）知，函數(shù)f（x）的最小值為-4，所以問(wèn)題等價(jià)為 x³-3a²x-2a≤-4（a≥1），在x∈[0，1]時(shí)恒成立
由（2）知，x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值，從而-2a≤-4，故得解．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為依托，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查了恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握最值法的運(yùn)用．