Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A，B在橢圓x²+3y²=4上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求邊AB中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時，求△ABC的面積；
（3）當(dāng)∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m，將它代入橢圓方程消去y得到一個關(guān)于x的二元方程，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得邊AB中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）欲求△ABC的面積，只須求出邊AB的長及高即可，利用（1）中的關(guān)于x的二元方程結(jié)合弦長公式可求得AB，又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離，可求得三角形的高，從而求得面積；
（3）因∠ABC=90°，由勾股定理得|AC|²=|AB|²+|BC|²其中|AB|可求（1）中的方程結(jié)合弦長公式可求得，又因?yàn)锽C的長等于點(diǎn)（0，m）到直線l的距離也可距離公式求出，表示出斜邊AC的長后利用函數(shù)的最值求出其最大即可．

解答：解：（1）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0．（2分）
因?yàn)锳、B在橢圓上，所以△=-12m²+64＞0.-

4 3

3

＜m＜

4 3

3

設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），中點(diǎn)為P（x₀，y₀）
則x1+x2=-

3m

2

，m=-

4

3

x0，y0=x0-

4

3

x0=-

1

3

x0
所以中點(diǎn)軌跡方程為y=-

1

3

x(-

3

＜x＜

3

，且x≠-

3

2

)（4分）

（2）∵AB∥l，且AB邊通過點(diǎn)（0，0），故AB所在直線的方程為y=x．
此時m=0，由（1）可得x=±1，所以|AB|=

2

|x1-x2|=2

2

（6分）
又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離，所以h=

2

（8分）
S△ABC=

1

2

|AB|•h=2．（10分）

（3）由（1）得x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-4

4

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

32-6m2

2

．（12分）
又因?yàn)锽C的長等于點(diǎn)（0，m）到直線l的距離，即|BC|=

|2-m|

2

．（14分）
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以當(dāng)m=-1時，AC邊最長，（這時△=-12+64＞0）
此時AB所在直線的方程為y=x-1．（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查了直線的一般式方程、軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高．