Question

如圖，有一塊邊長為a的正三角形的鐵皮，在正三角形的三個角上剪去三個相同的四邊形，余下部分按圖中的虛線剪割，可焊接成一個缺上蓋的正三棱柱容器，當容積最大時，能否用邊角廢料焊接成容器的上蓋？如果能，則說明理由；如果不能，則如何剪接，可使容器有上蓋且容積最大？

      

Answer 1

解析：如題圖所示，設AD=x,則PQ=a-2x，高h=PD=x.?

       ∴V(x)= (a-2x)²·=(4x³-4ax²+a²x)(0<x<).?

       對其求導，得V′(x)=(12x²-8ax+a²).?

       令V′(x)=0,得x=或x= (舍).?

       又當x∈(0, )時，V′(x)>0,當x∈(,)時，V′(x)<0，?

       ∴當x=時，即PQ=a-2x=時，V(x)取得最大值.?

       故當容器的底面邊長為時，容器的容積最大.?

       當x=時，則剩下來的三個邊角只能拼成一個邊長為的小正三角形，因而它不能焊接成容器的上蓋.?

       由于剩下來的三個邊角只能拼成一個邊長為2x的正三角形，?

       因此要使剩下來的廢料能拼接成容器的上蓋，?

       則2x≥a-2x，即x≥.?

       而V(x)在［,］上遞減，?

       當x=，即a-2x=時，V(x)取得最大值.?

       故剪接時使容器的底面邊長為時，其邊角廢料能焊接成容器的上蓋且容積最大.