Question

定義在D上的函數(shù)，如果滿(mǎn)足：，常數(shù)，都有≤M成立，則稱(chēng)是D上的有界函數(shù)，其中M稱(chēng)為函數(shù)的上界.

（Ⅰ）試判斷函數(shù)在[1，3]上是不是有界函數(shù)？請(qǐng)給出證明；

（Ⅱ）若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，要使在上的每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，當(dāng)時(shí)，.

∴在[1，3]上是增函數(shù).

    ∴當(dāng)時(shí)，≤≤，即 -2≤≤26.

    ∴存在常數(shù)M=26，使得，都有≤M成立.

故函數(shù)是[1，3]上的有界函數(shù).

（Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1

∴ 

    令，則.

     當(dāng)時(shí)，有，

∴在[0，+∞上單調(diào)遞減.  

故當(dāng)t=0 時(shí)，有；

又，當(dāng)t→+∞時(shí)，→0，

∴ ，從而有≤0，且.  ∴0≤a≤1；

故所求a的取值范圍為0≤a≤1.