Question

已知tan（α-β）=

1

2

，tanβ=-

1

7

，且α，β∈（0，π），求2α-β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：觀察角度的關(guān)系發(fā)現(xiàn)2α-β=2（α-β）+β，求出tan2（α-β），然后利用兩角和的正切函數(shù)求出tan（2α-β），再根據(jù)tanα、tanβ的值確定α，β的具體范圍，進(jìn)而確定2α-β的范圍，就可以根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出結(jié)果．

解答： 解：∵2α-β=2（α-β）+β，…（2分）
又tan（α-β）=

1

2

，∴tan2（α-β）=

2tan(α-β)

1-tan2(α-β)

=

4

3

…（4分）
故tan（2α-β）=tan[2（α-β）+β]=

tan2(α-β)+tanβ

1-tan2(α-β)tanβ

=

4 3 - 1 7

1- 4 3 × 1 7

=1．…（6分）
又∵tanα=tan[（α-β）+β]=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)+tanβ

=

1

3

＜1，…（7分）
且0＜α＜π，∴0＜α＜

π

4

，∴0＜2α＜

π

2

． …（9分）
又tanβ=-

1

7

，且β∈（0，π）⇒β∈（

π

2

，π）⇒-β∈（-π，-

π

2

）． …（11分）
∴2α-β∈（-π，0）．
又tan（2α-β）=1，
∴2α-β=-

3π

4

． …（13分）

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和的正切函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意找角度的關(guān)系．