Question

（2009•青島一模）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB=PA=

1

a

BC(a＞0)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，求此時(shí)二面角A-PD-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA垂直矩形底面ABCD，利用直線與平面垂直的性質(zhì)得到PA垂直BD，由a=1，知道底面ABCD為正方形，從而得到BD垂直于△PAC，由此能夠證明BD⊥PC．
（Ⅱ）由AB，AD，AP兩兩垂直，分別以它們所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系．借助空間向量先求出a=2，m=1．然后求出設(shè)面PQD的法向量

p

=(

1

2

，

1

2

，1)，取面PAD的法向量

q

=(1，0，0)，由此利用向量法能求出二面角A-PD-Q的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA垂直矩形底面ABCD，
∴PA垂直BD，
∵AB=PA=

1

a

BC(a＞0)，
a=1，
∴AB=PA=BC，
∴底面ABCD為正方形，
∴BD垂直于AC，
∴BD垂直于△PAC，
∴BD⊥PC．
解：（Ⅱ）∵AB，AD，AP兩兩垂直，分別以它們所在的直線為x軸，y軸，z軸，
建立坐標(biāo)系

令A(yù)B=1，則BC=a，
B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0），P（0，0，1），
設(shè)BQ=m，Q（1，m，0），（0≤m≤a），
要使PQ⊥QD，只要

PQ

•

QD

=-1+m(a-m)=0，
即m²-am+1=0，
由△=a²-4=0，得a=2，此時(shí)m=1．
∴BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD時(shí)，
Q為BC的中點(diǎn)，且a=2，
設(shè)面PQD的法向量

p

=(x，y，1)，
則

p • QD =0 p •  DP =0

，即

-x+y=0 -2y+1=0

，
∴

p

=(

1

2

，

1

2

，1)，
取面PAD的法向量

q

=(1，0，0)，
則＜

p

，

q

＞的大小與三面角A-PD-Q的大小相等，
∵cos＜

p

，

q

＞=

p • q

| p || q |

=

6

6

，
∴二面角A-PD-Q的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查線面平行，考查線面角，考查面面角，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解決問題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解．